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Evaluasi Determinan dan Invers

Universitas Trunojoyo Madura

Soal 1

A=[−7−514]A = \begin{bmatrix} -7 & -5 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}
(1)

Jawaban

det(A)=(−7×4)−(1×4)=−28−(−5)=−23\begin{align*} det (\text{A}) &= (-7 \times 4) - (1 \times 4) \\ &= -28 - (-5) = -23 \end{align*}
(2)

Soal 2

A=[02−31−2−1001]A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(3)

Jawaban

det(A)=0⋅M11−2⋅M12+(−3)⋅M13=0⋅[−2−101]−2⋅[1−101]−3⋅[1−200]=0⋅[−2−101]−2⋅[1−101]−3⋅[1−200]\begin{align*} det (\text{A}) &= 0 \cdot M_{11} - 2 \cdot M_{12} + (-3) \cdot M_{13} \\ \\ % &= 0 \cdot \begin{bmatrix}-2 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} - 3 \cdot \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \\ \\ % &= 0 \cdot \begin{bmatrix}-2 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} - 3 \cdot \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \end{align*}
(4)

Hitung determinan 2×22\times2:

[−2−101]=(−2×1)−(−1×0)=−2[1−101]=(1×1)−(−1×0)=1[1−200]=(1×0)−(−2×0)=0\begin{align*} \begin{bmatrix}-2 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} &= (-2 \times 1) - (-1 \times 0) = -2 \\ \\ \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} &= (1 \times 1) - (-1 \times 0) = 1 \\ \\ \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0\end{bmatrix} &= (1 \times 0) - (-2 \times 0)= 0 \end{align*}
(5)

Maka:

det(a)=0(−2)−2(1)−3(0)=0−2−0=−2\begin{align*} det (\text{a}) &= 0 (-2) - 2 (1) - 3 (0) \\ &= 0 - 2 - 0 \\ &= -2 \end{align*}
(6)

Soal 3

A=[1−311−311111−31111−3]A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{bmatrix}
(7)

Jawaban

det(A)=1⋅M11−(−3)⋅M12+1⋅M13−1⋅M14\begin{align*} det (\text{A}) &= 1 \cdot M_{11} - (-3) \cdot M_{12} + 1 \cdot M_{13} - 1 \cdot M_{14} \end{align*}
(8)

Maka:

1⋅M11=1⋅[1111−3111−3]3⋅M12=3⋅[−3111−3111−3]1⋅M13=1⋅[−31111111−3]1⋅M14=1⋅[−31111−3111]\begin{align*} 1 \cdot M_{11} &= 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \\ % 3 \cdot M_{12} &= 3 \cdot \begin{bmatrix}-3 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \\ % 1 \cdot M_{13} &= 1 \cdot \begin{bmatrix}-3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \\ % 1 \cdot M_{14} &= 1 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ \end{align*}
(9)

Pertama, hitung “1⋅M111 \cdot M_{11}”:

1⋅M11=1⋅[1111−3111−3]=1⋅(1⋅[−311−3]−1⋅[111−3]+1⋅[111−3])=1⋅(1⋅((−3⋅−3)−(1⋅1))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))=1⋅(1⋅(9−1)−1⋅(−3−1)+1⋅(−3−1))=1⋅(1⋅8−1⋅(−4)+1⋅(−4))=1⋅(8+4−4)=1⋅8=8\begin{align*} 1 \cdot M_{11} &= 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \\\\ % &= 1 \cdot \left( 1 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \right) \\\\ % &= 1 \cdot (1 \cdot ((-3 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) \\\\ % &= 1 \cdot (1 \cdot (9 - 1) - 1 \cdot (-3 - 1) + 1 \cdot (-3 - 1)) \\\\ % &= 1 \cdot (1 \cdot 8 - 1 \cdot (-4) + 1 \cdot (-4)) \\\\ % &= 1 \cdot ( 8 + 4 - 4) \\\\ % &= 1 \cdot 8 \\\\ % &= 8 \end{align*}
(10)

Kedua, hitung “3⋅M123 \cdot M_{12}”:

3⋅M12=3⋅[−3111−3111−3]=3⋅(−3⋅[−311−3]−1⋅[111−3]+1⋅[1−311])=3⋅(−3⋅((−3⋅−3)−(1⋅1))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))=3⋅(−3⋅(9−1)−1⋅(−3−1)+1⋅(1−(−3)))=3⋅(−3⋅8−1⋅(−4)+1⋅(4))=3⋅(−24+4+4)=3⋅(−16)=−48\begin{align*} 3 \cdot M_{12} &= 3 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \\\\ % &= 3 \cdot \left( -3 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \right) \\\\ % &= 3 \cdot \left( -3 \cdot ((-3 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3)) \right) \\\\ % &= 3 \cdot \left( -3 \cdot (9 - 1) - 1 \cdot (-3 - 1) + 1 \cdot (1 - (-3)) \right) \\\\ % &= 3 \cdot \left( -3 \cdot 8 - 1 \cdot (-4) + 1 \cdot (4) \right) \\\\ % &= 3 \cdot \left( -24 + 4 + 4 \right) \\\\ % &= 3 \cdot (-16) \\\\ % &= -48 \end{align*}
(11)

Ketiga, hitung “1⋅M131 \cdot M_{13}”:

1⋅M13=1⋅[−31111111−3]=1⋅(−3⋅[111−3]−1⋅[111−3]+1⋅[1111])=1⋅(−3⋅((1⋅−3)−(1⋅1))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=1⋅(−3⋅(−3−1)−1⋅(−3−1)+1⋅(1−1))=1⋅(−3⋅(−4)−1⋅(−4)+1⋅(0))=1⋅(12+4+0)=1⋅16=16\begin{align*} 1 \cdot M_{13} &= 1 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \\\\ % &= 1 \cdot \left( -3 \cdot \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \right) \\\\ % &= 1 \cdot \left( -3 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1)) \right) \\\\ % &= 1 \cdot \left( -3 \cdot (-3 - 1) - 1 \cdot (-3 - 1) + 1 \cdot (1 - 1) \right) \\\\ % &= 1 \cdot \left( -3 \cdot (-4) - 1 \cdot (-4) + 1 \cdot (0) \right) \\\\ % &= 1 \cdot \left( 12 + 4 + 0 \right) \\\\ % &= 1 \cdot 16 \\\\ % &= 16 \end{align*}
(12)

Keempat, hitung “1⋅M141 \cdot M_{14}”:

1⋅M14=1⋅[−31111−3111]=1⋅(−3⋅[1−311]−1⋅[1−311]+1⋅[1111])=1⋅(−3⋅((1⋅1)−(−3⋅1))−1⋅((1⋅1)−(−3⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=1⋅(−3⋅(1+3)−1⋅(1+3)+1⋅(0))=1⋅(−3⋅4−1⋅4+0)=1⋅(−12−4)=1⋅(−16)=−16\begin{align*} 1 \cdot M_{14} &= 1 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\\\ % &= 1 \cdot \left( -3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \right) \\\\ % &= 1 \cdot \left( -3 \cdot ((1 \cdot 1) - (-3 \cdot 1)) - 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (-3 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1)) \right) \\\\ % &= 1 \cdot \left( -3 \cdot (1 + 3) - 1 \cdot (1 + 3) + 1 \cdot (0) \right) \\\\ % &= 1 \cdot \left( -3 \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 0 \right) \\\\ % &= 1 \cdot (-12 - 4) \\\\ % &= 1 \cdot (-16) \\\\ % &= -16 \end{align*}
(13)

Setelah mendapatkan determinan dari setiap minor, kita dapat menghitung determinan dari matriks AA:

det(A)=1⋅M11−(−3)⋅M12+1⋅M13−1⋅M14=1⋅8−(−3)⋅(−48)+1⋅16−1⋅(−16)=8−144+16+16=−104\begin{align*} det (\text{A}) &= 1 \cdot M_{11} - (-3) \cdot M_{12} + 1 \cdot M_{13} - 1 \cdot M_{14} \\\\ &= 1 \cdot 8 - (-3) \cdot (-48) + 1 \cdot 16 - 1 \cdot (-16) \\\\ &= 8 - 144 + 16 + 16 \\\\ &= -104 \end{align*}
(14)

Soal 4 (Adjoin dan Invers)

A=[−7−514]A = \begin{bmatrix} -7 & -5 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}
(15)

Jawaban

Langkah pertama adalah menghitung adjoin dari matriks AA:

adj(A)=[−7−514]=[4−15−7]=[45−1−7]\begin{align*} \text{adj}(\text{A}) % &= \begin{bmatrix} -7 & -5 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\\\\ % &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}\\\\ % &= \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ -1 & -7 \end{bmatrix} \end{align*}
(16)

Selanjutnya, hitung invers dari matriks AA:

A−1=1det(A)⋅adj(A)=1−23⋅[45−1−7]=[−423−523123723]\begin{align*} A^{-1} &= \frac{1}{det(\text{A})} \cdot \text{adj}(\text{A})\\\\ % &= \frac{1}{-23} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ -1 & -7 \end{bmatrix}\\\\ % &= \begin{bmatrix} -\frac{4}{23} & -\frac{5}{23} \\ \frac{1}{23} & \frac{7}{23} \end{bmatrix} \end{align*}
(17)

Soal 5 (Adjoin dan Invers)

A=[02−31−2−1001]A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(18)

Jawaban

Langkah pertama adalah menghitung kofaktor dari setiap elemen pada matriks AA:

C11=(−1)1+1⋅[−2−101]=1⋅((−2⋅1)−(−1⋅0))=−2C12=(−1)1+2⋅[1−101]=−1⋅((1⋅1)−(−1⋅0))=−1C13=(−1)1+3⋅[1−200]=1⋅((1⋅0)−(−2⋅0))=0C21=(−1)2+1⋅[2−301]=−1⋅((2⋅1)−(−3⋅0))=−2C22=(−1)2+2⋅[0−301]=1⋅((0⋅1)−(−3⋅0))=0C23=(−1)2+3⋅[0200]=−1⋅((0⋅0)−(2⋅0))=0C31=(−1)3+1⋅[2−3−2−1]=1⋅((2⋅−1)−(−3⋅−2))=4C32=(−1)3+2⋅[0−31−1]=−1⋅((0⋅−1)−(−3⋅1))=−3C33=(−1)3+3⋅[021−2]=1⋅((0⋅−2)−(2⋅1))=−2\begin{align*} C_{11} &= (-1)^{1+1} \cdot \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((-2 \cdot 1) - (-1 \cdot 0)) = -2 \\\\ % C_{12} &= (-1)^{1+2} \cdot \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((1 \cdot 1) - (-1 \cdot 0)) = -1 \\\\ % C_{13} &= (-1)^{1+3} \cdot \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((1 \cdot 0) - (-2 \cdot 0)) = 0 \\\\ % C_{21} &= (-1)^{2+1} \cdot \begin{bmatrix}2 & -3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((2 \cdot 1) - (-3 \cdot 0)) = -2 \\\\ % C_{22} &= (-1)^{2+2} \cdot \begin{bmatrix}0 & -3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((0 \cdot 1) - (-3 \cdot 0)) = 0 \\\\ % C_{23} &= (-1)^{2+3} \cdot \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((0 \cdot 0) - (2 \cdot 0)) = 0 \\\\ % C_{31} &= (-1)^{3+1} \cdot \begin{bmatrix}2 & -3 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((2 \cdot -1) - (-3 \cdot -2)) = 4 \\\\ % C_{32} &= (-1)^{3+2} \cdot \begin{bmatrix}0 & -3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((0 \cdot -1) - (-3 \cdot 1)) = -3 \\\\ % C_{33} &= (-1)^{3+3} \cdot \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((0 \cdot -2) - (2 \cdot 1)) = -2 \end{align*}
(19)

Maka, matriks kofaktor adalah:

C=[−2−10−2004−3−2]C = \begin{bmatrix} -2 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & -2 \end{bmatrix}
(20)

Setelah didapatkan matriks kofaktor, kita dapat menghitung adjoin dari matriks AA dengan mentranspose matriks kofaktor:

adj(A)=CT=[−2−24−10−300−2]\text{adj}(\text{A}) = C^T = \begin{bmatrix} -2 & -2 & 4 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}
(21)

Baru setelah itu, kita dapat menghitung invers dari matriks AA:

A−1=1det(A)⋅adj(A)=12⋅[−2−24−10−300−2]=[−1−12−120−3200−1]\begin{align*} A^{-1} &= \frac{1}{det(\text{A})} \cdot \text{adj}(\text{A})\\\\ &= \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} -2 & -2 & 4 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}\\\\ &= \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{align*}
(22)

Soal 6 (Adjoin dan Invers)

A=[1−311−311111−31111−3]A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{bmatrix}
(23)

Jawaban

Langkah pertama, adalah menghitung kofaktor dari setiap elemen pada matriks AA:

C11=(−1)1+1⋅[1111−3111−3]=1⋅((1⋅((−3⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))=8C12=(−1)1+2⋅[−3111−3111−3]=−1⋅((−3⋅((−3⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))=−48C13=(−1)1+3⋅[−31111111−3]=1⋅((−3⋅((1⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=16C14=(−1)1+4⋅[−31111−3111]=−1⋅((−3⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))−1⋅((1⋅1)−(1⋅−3))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=−16C21=(−1)2+1⋅[−3111−3111−3]=−1⋅((−3⋅((−3⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))=−48C22=(−1)2+2⋅[1111−3111−3]=1⋅((1⋅((−3⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))=8C23=(−1)2+3⋅[1−3111111−3]=−1⋅((1⋅((1⋅−3)−(1⋅1)))−(−3)⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=−16C24=(−1)2+4⋅[1−3111−3111]=1⋅((1⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))−(−3)⋅((1⋅1)−(1⋅−3))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=16C31=(−1)3+1⋅[−31111111−3]=1⋅((−3⋅((1⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=16C32=(−1)3+2⋅[11111111−3]=−1⋅((1⋅((1⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=−16C33=(−1)3+3⋅[1−3111111−3]=1⋅((1⋅((1⋅−3)−(1⋅1)))−(−3)⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=16C34=(−1)3+4⋅[1−31111111]=−1⋅((1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))−(−3)⋅((1⋅1)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=0C41=(−1)4+1⋅[−3111−3111−3]=−1⋅((−3⋅((−3⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))=−16C42=(−1)4+2⋅[1111−3111−3]=1⋅((1⋅((−3⋅−3)−(1⋅1)))−1⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅−3)))=8C43=(−1)4+3⋅[1−3111111−3]=−1⋅((1⋅((1⋅−3)−(1⋅1)))−(−3)⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=−16C44=(−1)4+4⋅[1−3111111−3]=1⋅((1⋅((1⋅−3)−(1⋅1)))−(−3)⋅((1⋅−3)−(1⋅1))+1⋅((1⋅1)−(1⋅1)))=0\begin{align*} C_{11} &= (-1)^{1+1} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((1 \cdot ((-3 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3))) = 8 \\\\ % C_{12} &= (-1)^{1+2} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((-3 \cdot ((-3 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3))) = -48 \\\\ % C_{13} &= (-1)^{1+3} \cdot \begin{bmatrix}-3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((-3 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = 16 \\\\ % C_{14} &= (-1)^{1+4} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((-3 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3))) - 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = -16 \\\\ % C_{21} &= (-1)^{2+1} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((-3 \cdot ((-3 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3))) = -48 \\\\ % C_{22} &= (-1)^{2+2} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((1 \cdot ((-3 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3))) = 8 \\\\ % C_{23} &= (-1)^{2+3} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - (-3) \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = -16 \\\\ % C_{24} &= (-1)^{2+4} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3))) - (-3) \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = 16 \\\\ % C_{31} &= (-1)^{3+1} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((-3 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = 16 \\\\ % C_{32} &= (-1)^{3+2} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = -16 \\\\ % C_{33} &= (-1)^{3+3} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - (-3) \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = 16 \\\\ % C_{34} &= (-1)^{3+4} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) - (-3) \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = 0 \\\\ C_{41} &= (-1)^{4+1} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((-3 \cdot ((-3 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3))) = -16 \\\\ C_{42} &= (-1)^{4+2} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((1 \cdot ((-3 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - 1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot -3))) = 8 \\\\ C_{43} &= (-1)^{4+3} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = -1 \cdot ((1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - (-3) \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = -16 \\\\ C_{44} &= (-1)^{4+4} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} % = 1 \cdot ((1 \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1))) - (-3) \cdot ((1 \cdot -3) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (1 \cdot 1))) = 0 \end{align*}
(24)

Selanjutnya, kita dapat menyusun matriks kofaktor:

C=[8−4816−16−488−161616−16160−161600]C = \begin{bmatrix} 8 & -48 & 16 & -16 \\ -48 & 8 & -16 & 16 \\ 16 & -16 & 16 & 0 \\ -16 & 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}
(25)

Setelah didapat matriks kofaktor, selanjutnya adalah menghitung adjoin dari matriks AA dengan mentranspose matriks kofaktor:

adj(A)=CT=[8−4816−16−488−161616−16160−161600]T=[8−4816−16−488−161616−16160−161600]\text{adj}(\text{A}) = C^T = \begin{bmatrix} 8 & -48 & 16 & -16 \\ -48 & 8 & -16 & 16 \\ 16 & -16 & 16 & 0 \\ -16 & 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 8 & -48 & 16 & -16 \\ -48 & 8 & -16 & 16 \\ 16 & -16 & 16 & 0 \\ -16 & 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}
(26)

Setelah didapatkan adjoin dari matriks AA, kita dapat menghitung invers dari matriks AA:

A−1=1det(A)⋅adj(A)=1−104⋅[8−4816−16−488−161616−16160−161600]=[−1131213−4134131213−113413−413−413413−4130413−41300]\begin{align*} A^{-1} &= \frac{1}{det(\text{A})} \cdot \text{adj}(\text{A})\\\\ &= \frac{1}{-104} \cdot \begin{bmatrix} 8 & -48 & 16 & -16 \\ -48 & 8 & -16 & 16 \\ 16 & -16 & 16 & 0 \\ -16 & 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\\\ &= \begin{bmatrix} -\frac{1}{13} & \frac{12}{13} & -\frac{4}{13} & \frac{4}{13} \\ \frac{12}{13} & -\frac{1}{13} & \frac{4}{13} & -\frac{4}{13} \\ -\frac{4}{13} & \frac{4}{13} & -\frac{4}{13} & 0 \\ \frac{4}{13} & -\frac{4}{13} & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*}
(27)
Komputasi Aljabar Linier
Invers Matrix