Persamaan Linier - Komputasi Aljabar Linier

Pengertian¶

Persamaan linier adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya menganndung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dapat dikatakan linier dikarenakan hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem Koordinat Kartesius.

Setiap suku pada persamaan linier mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Dalam persamaan liiner akan ada beberapa hal penting, seperti variabel, koefisien, dan juga konstanta.

Ciri-Ciri Persamaan Linier¶

Persamaan linier memiliki ciri-ciri tertentu. Dengan melihat dari ciri-ciri tersebut, kita dapat mengidentifikasi apakah suatu persamaan termasuk persamaan linier atau bukan. Berikut adalah ciri-ciri dari persamaan linier:

Persamaan hanya boleh memiliki pangkat satu.
Persamaan linier tidak memiliki perkalian variabel.
Persamaan linier biasanya terdiri dari dua ruas yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=).
Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada kedua ruas tidak akan mengubah bentuk nilai persamaan.

Unsur-Unsur Dalam Persamaan Linier¶

Persamaan linier memiliki beberapa unsur penting, antara lain:

Variabel¶

Variabel adalah penambah atau pengganti suatu bilangan yang belum diketahui besaran nilainya secara jelas. Variabel biasanya disimbolkan mmenggunakan huruf (misalnya seperti a, b, c, x, y, z, dsb).

Sebagai contoh, terdapat persamaan seperti $2x - 9 = 3$ . Huruf $x$ pada persamaan tersebut adalah sebuah variabel.

Koefisien¶

Dalam persamaan, koefisien merupakan angka atau nilai yang mengalikan variabel. Sebagai contoh, terdapat persamaan $2x - 9$ . Pada persamaan tersebut, 2, dan 9 adalah koefisien.

Konstanta¶

Dalam persamaan, konstanta adalah suatu nilai konstan yang tidak diikuti oleh variabel. Sebagai contoh, terdapat persamaan $2x - 9$ , dan angka 9 pada persamaan tersebut adalah konstanta, karena tidak diikuti oleh variabel.

Suku¶

Suku adalah bagian dari bentuk persamaan. Suku terdiri dari beberapa unsur penting persamaan linier, mulai dari variabel, koefisien, dan konstanta. Simpelnya, suku adalah kumpulan dari variabel, koefisien, dan konstanta dan **dipisahkan oleh tanda $+$ atau $-$ .

Sebagai contoh, terdapat persamaan $2x - 5y + 7$ . Terdapat 3 suku pada persamaan tersebut, antara lain:

$2x$
$-5y$
7

Jenis-Jenis Persamaan Linier¶

Persamaan linier dibagi menjadi 3 jenis. Mulai dari persamaan linier satu variabel, persamaan linier dua variabel, dan persamaan linier tiga variabel. Namun bentuk umumnya persamaan linier adalah $y = mx + b$ .

Setiap jenis memiliki pengertian dan cara penyelesaiannya masing-masing. Oleh karena itu, untuk dapat memahami persamaan linier, kita perlu tahu apa saja jenis-jenis dari persamaan linier.

Persamaan Linier Satu Variabel¶

Sesuai namanya, persamaan linier satu variabel hanya memiliki satu variabel dengan pangkat 1 dalam bentuk kalimat terbuka, dan dapat dihubungkan dengan tanda sama dengan ( $=$ ).

Secara umum, bentuk persamaan linier satu variabel jika ditulis secara matematik adalah:

ax + b = 0

(1)

Keterangan:

$a$ = koefisien
$x$ = variabel
$b$ = konstanta

Persamaan Linier Dua Variabel¶

Persamaan ini adalah sistem persamaan yang memiliki variabel berjumlah dua dengan pangkat 1. Persamaan linier dua variabel akan menggunakan relasi $=$ dan tidak akan menggunakan perkalian variabel pada setiap persamaan. Jenis persamaan ini juga sering digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah sederhana, khususnya dalam kegiatan jual beli.

Secara matematis, persamaan linier dua variabel bisa dituliskan seperti:

ax + by = c

(2)

Dalam proses penyelesaiannya, persamaan linier dua variabel dapat dilakukan dengan menggunakan dua metode, yaitu:

Metode Subtitusi
Metode subtitusi dilakukan dengan cara mengubah satu variabel dengan variabel persamaan lain.
Metode Eliminasi
Metode eliminasi dilakukan dengan menghapus salah satu variabel dalam persamaan.

Persamaan Linier Tiga Variabel¶

Simpelnya, sistem persamaan ini adalah bentuk perluasan dari persamaan dua variabel. Cara menyelesaikan persamaan ini kurang lebih sama seperti persamaan dua variabel, yaitu dengan cara menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi.

Sistem persamaan ini akan terasa berguna ketika digunakan dalam mendirikan bangunan agar lebih presisi. Secara umum, penulisan persamaan linier tiga variabel dapat ditulis sebagai berikut:

ax + by + cy = d

(3)

Metode Penyelesaian Persamaan Linier¶

Terdapat beberapa metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan soal persamaan. Setiap jenis metode penyelesaian memiliki pengertian dan cara yang berbeda-beda.

Metode Subtitusi¶

Metode subtitusi bekerja dengan cara mengubah suatu variabel dengan variabel dari persamaan lainnya, seperti pada contoh soal yang ada di bawah ini.

Soal:

Tentukan nilai variabel $x$ dan $y$ dari kedua persamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi matematika!

2x + 4y = 28

(4)

3x + 2y = 22

(5)

Jawaban:

Langkah pertama:

Pilih salah satu persamaan yang akan dipindahkan elemennya. Sebagai contoh disini saya memilih persamaan pertama.

2x + 4y = 28

(6)

Langkah kedua:

Pilih variabel apapun (disini saya memilih $y$ ) untuk dipindahkan ke ruas kanan. Setelah hal ini dilakukan, maka persamaan di langkah pertama akan menjadi seperti ini:

2x = 28 - 4y

(7)

Langkah ketiga:

Karena pada langkah kedua memilih variabel $y$ untuk dipindahkan, maka koefisien pada variabel $x$ akan dihilangkan dengan cara membagi masing-masing ruas dengan koefisien yang dimiliki oleh $x$ .

\frac{2x}{2} = \frac{28 - 4y}{2}

(8)

Pembagian pada ruas kanan dilakukan terhadap seluruh ekspresi. Sehingga berlaku sifat distributif pembagian:

\frac{2x}{2} = \frac{28}{2} - \frac{4y}{2}

(9)

Dari proses perhitungan diatas, akan menghasilkan persamaan sebagai bentuk solusi dari variabel $x$

x = 14 - 2y

(10)

Langkah keempat

Menggabungkan hasil dari langkah ketiga dengan persamaan kedua. Yang dimana dengan cara mengganti variabel $x$ dengan persamaan

\begin{aligned} x &= 14 - 2y \\ 3x + 2y &= 22 \end{aligned}

(11)

Subtitusikan kedua persamaan diatas, maka hasilnya adalah sebagai berikut:

3 (14 - 2y) + 2y = 22

(12)

Catatan: Variabel $x$ pada persamaan diatas sudah diubah dengan hasil dari langkah ketiga, yaitu $x = 14 - 2y$ .

Maka hasil dari langkah keempat (B) adalah:

42 - 6y + 2y = 22

(13)

Setelah proses sebelumnya selesai, maka selanjutnya adalah menjumlahkan $-6y + 2y$ , karena kedua suku ini memiliki tipe variabel yang sama. Maka hasilnya adalah:

42 - 4y = 22

(14)

Karena disini mencari nilai dari variabel $y$ , maka pindahkan 42 ke ruas kanan. Serta, karena pada ruas kanan (setelah memindahkan 42 ke ruas kanan) bertipe sama, maka dapat langsung dihitung hasilnya.

\begin{aligned} 4y &= 22 - 42 \\ 4y &= -20 \end{aligned}

(15)

Dikarenakan ingin mencari nilai dari variabel $y$ , maka hilangkan koefisien pada variabel $y$ . Prosesnya sama persis dengan langkah ketiga (b).

\frac{4y}{4} = \frac{-20}{4} \\

(16)

Maka dari proses perhitungan diatas, didapatkan hasil:

y = 5

(17)

Langkah kelima

Setelah menemukan nilai dari variabel $y$ pada proses keempat, maka selanjutnya adalah memasukkan angka 5 pada variabel $x$ . (Catatan: Masukkan nilai X dengan hasil dari proses ketiga)

\begin{aligned} x &= 14 - 2y \\ x &= 14 - 2 (5) \\ x &= 14 - 10 \\ x &= 4 \end{aligned}

(18)

Dari proses diatas, didapatkan hasil dari variabel $x$ adalah 4.

Kesimpulan keseluruhan

Dari keseluruhan proses-proses yang telah dilakukan sebelumnya, diketahui bahwa:
$x = 4$
$y = 5$

Sehingga jawaban utama dari soal ini adalah $x = 4$ dan $y = 5$

Metode Eliminasi¶

Metode eliminasi adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan soal persamaan linear dua atau tiga variabel. Secara garis besar, metode ini akan menghilangkan satu variabel dalam persamaan tersebut.

Misal, variabel pada persamaan a dan persamaan b. Agar dapat mencari nilai a, maka perlu menghilangkan variabel dari persamaan b terlebih dahulu. Mari coba dengan contoh soal dibawah ini:

Soal:

Tentukan nilai variabel $x$ dan $y$ dari persamaan berikut ini menggunakan metode eliminasi!

x + 2y = 20

(19)

2x + 3y = 33

(20)

Jawab:

Langkah pertama

Langkah pertama adalah mencari nilai dari variabel $x$ dengan cara menghilangkan $y$ pada bagian masing-masing persamaan. dari persamaan pertama dan persamaan kedua dapat diketahui nilai dari variabel $y$ dari masing-masing persamaan adalah 2 dan 3.

Untuk menghilangkan $y$ , cari KPK atau kelipatan persekutuan terkecil dari variabel $y$ dari masing-masing persamaan, yaitu 2 dan 3.

$2 = 2, 4, 6, 8, ...$
$3 = 3, 6, 9, 11, ...$

Dapat diketahui bahwa KPK dari 3 dan 2 adalah 6, maka langkah selanjutnya adalah membagi angka 6 dengan masing-masing koefisien.

\begin{aligned} 6 \div 2 &= 3\\ 6 \div 3 &= 2 \end{aligned}

(21)

Langkah kedua

Untuk menyamakan koefisien $y$ menjadi 6, setiap persamaan dikalikan dengan hasil KPK masing-masing.

\begin{aligned} x + 2y &= 20 &(\times 3) \\ 3x + 6y &= 60 \\ \\ 2x + 3y &= 33 &(\times 2) \\ 4x + 6y &= 66 \end{aligned}

(22)

Maka hasil dari perkalian diatas adalah

\begin{aligned} 3x + 6y &= 60 \\ 4x + 6y &= 66 \end{aligned}

(23)

Langkah ketiga

Setelah menyamakan koefisien dari variabel $y$ , maka langkah selanjutnya adalah melakukan eliminasi. Kurangkan kedua persamaan yang telah disamakan koefisien variabel $y$ nya.

\begin{aligned} 3x + 6y &= 60 \\ 4x + 6y &= 66 \\ \\ (3x + 6y) - (4x + 6y) &= 60 - 66 \\ -x &= -6 \\ \end{aligned}

(24)

Tanpa melompati tahapan, selanjutnya adalah melepaskan variabel tersebut daru koefisien. Caranya sama seperti langkah ketiga (B) pada metode subtitusi.

\begin{aligned} -x &= -6 \\ \\ \frac{-x}{-1} &= \frac{-6}{-1} \\ \\ x &= 6 \end{aligned}

(25)

Jadi telah didapatkan bahwa hasil dari $x$ adalah 6. Untuk mencari $y$ , caranya hanya tinggal melakukan hal yang sama dari langkah ketiga ini. Mari selanjutnya kita cari $y$ .

Langkah keempat - Mencari $y$

Sama seperti saat mencari $x$ . Karena disini kita ingin mendapatkan nilai $y$ , maka yang dihilangkan adalah variabel $X$ , kebalikan dari “mencari variabel $x$ ”.