Invers Matrix Universitas Trunojoyo Madura
April 13, 2026
Pengertian ¶ Determinan adalah sebuah nilai yang dihitung dari matriks persegi. Nilai ini digunakan untuk mengetahui apakah matriks memiliki invers atau tidak. Jika determinan bernilai 0, maka matriks tidak memiliki invers.
Adjoin (Adjugate) adalah matriks yang diperoleh dari kofaktor setiap elemen, lalu ditranspose (baris menjadi kolom). Adjoin digunakan dalam proses mencari invers matriks secara manual.
Invers Matriks adalah kebalikan dari suatu matriks. Jika matriks A A A
Rumus Dasar ¶ Untuk matriks A A A
A − 1 = 1 det ( A ) × Adj ( A ) A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{Adj}(A) A − 1 = det ( A ) 1 × Adj ( A ) Contoh Matriks 5x5 ¶ Diketahui:
A = [ 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 ] A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 1 & 2
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 ⎦ ⎤ Matriks ini dipilih karena:
Determinan Matriks 5x5 ¶ Determinan dihitung dengan ekspansi kofaktor (ambil baris pertama):
det ( A ) = 2 C 11 − 1 C 12 + 3 C 13 − 1 C 14 + 2 C 15 \det(A) =
2C_{11} - 1C_{12} + 3C_{13} - 1C_{14} + 2C_{15} det ( A ) = 2 C 11 − 1 C 12 + 3 C 13 − 1 C 14 + 2 C 15 Setiap kofaktor:
C i j = ( − 1 ) i + j × det ( M i j ) C_{ij} = (-1)^{i+j} \times \det(M_{ij}) C ij = ( − 1 ) i + j × det ( M ij ) M i j M_{ij} M ij i i i j j j
Contoh minor:
M 11 = [ 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 ] M_{11} =
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 2
\end{bmatrix} M 11 = ⎣ ⎡ 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 ⎦ ⎤ Langkah ini dilakukan untuk semua elemen pada baris pertama.
Matriks Kofaktor ¶ Setelah semua kofaktor dihitung:
Cof ( A ) = [ C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 ] \text{Cof}(A) =
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} \\
C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} \\
C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55}
\end{bmatrix} Cof ( A ) = ⎣ ⎡ C 11 C 21 C 31 C 41 C 51 C 12 C 22 C 32 C 42 C 52 C 13 C 23 C 33 C 43 C 53 C 14 C 24 C 34 C 44 C 54 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 ⎦ ⎤ Adjoin Matriks ¶ Adjoin adalah transpose dari matriks kofaktor:
Adj ( A ) = [ C 11 C 21 C 31 C 41 C 51 C 12 C 22 C 32 C 42 C 52 C 13 C 23 C 33 C 43 C 53 C 14 C 24 C 34 C 44 C 54 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 ] \text{Adj}(A) =
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21} & C_{31} & C_{41} & C_{51} \\
C_{12} & C_{22} & C_{32} & C_{42} & C_{52} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{43} & C_{53} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{54} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55}
\end{bmatrix} Adj ( A ) = ⎣ ⎡ C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 ⎦ ⎤ Invers Matriks ¶ Jika det ( A ) ≠ 0 \det(A) \neq 0 det ( A ) = 0
A − 1 = 1 det ( A ) × Adj ( A ) A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{Adj}(A) A − 1 = det ( A ) 1 × Adj ( A ) Ringkasan Langkah ¶ Ambil satu baris (biasanya baris pertama)
Hitung semua minor (matriks 4x4)
Hitung kofaktor
Susun matriks kofaktor
Transpose → adjoin
Hitung determinan
Masukkan ke rumus invers
Catatan ¶ Contoh Perhitungan (Step-by-Step) ¶ Diketahui:
A = [ 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 ] A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 1 & 2
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 ⎦ ⎤ Langkah 1: Hitung Determinan (Ekspansi Baris Pertama) ¶ det ( A ) = 2 C 11 − 1 C 12 + 3 C 13 − 1 C 14 + 2 C 15 \det(A) =
2C_{11} - 1C_{12} + 3C_{13} - 1C_{14} + 2C_{15} det ( A ) = 2 C 11 − 1 C 12 + 3 C 13 − 1 C 14 + 2 C 15 Kita mulai dari satu kofaktor dulu (contoh lengkap), lalu sisanya disingkat.
Langkah 2: Hitung C 11 C_{11} C 11 ¶ Ambil Minor M 11 M_{11} M 11 ¶ Hapus baris 1 dan kolom 1:
M 11 = [ 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 ] M_{11} =
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 2
\end{bmatrix} M 11 = ⎣ ⎡ 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 ⎦ ⎤ Langkah 3: Determinan Matriks 4x4 ¶ Kita ekspansi lagi (baris pertama):
det ( M 11 ) = 2 D 11 − 1 D 12 + 2 D 13 − 1 D 14 \det(M_{11}) =
2D_{11} - 1D_{12} + 2D_{13} - 1D_{14} det ( M 11 ) = 2 D 11 − 1 D 12 + 2 D 13 − 1 D 14 Hitung salah satu (contoh: D 11 D_{11} D 11 ¶ Hapus baris 1 kolom 1:
[ 2 1 2 1 3 1 2 1 2 ] \begin{bmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 2
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 2 1 2 1 3 1 2 1 2 ⎦ ⎤ Gunakan rumus determinan 3x3:
= 2 ( 3 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ) − 1 ( 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 ) + 2 ( 1 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ) = 2(3 \cdot 2 - 1 \cdot 1)
- 1(1 \cdot 2 - 1 \cdot 2)
+ 2(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = 2 ( 3 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ) − 1 ( 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 ) + 2 ( 1 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ) = 2 ( 6 − 1 ) − 1 ( 2 − 2 ) + 2 ( 1 − 6 ) = 2(6 - 1)
- 1(2 - 2)
+ 2(1 - 6) = 2 ( 6 − 1 ) − 1 ( 2 − 2 ) + 2 ( 1 − 6 ) = 2 ( 5 ) − 1 ( 0 ) + 2 ( − 5 ) = 2(5) - 1(0) + 2(-5) = 2 ( 5 ) − 1 ( 0 ) + 2 ( − 5 ) = 10 + 0 − 10 = 0 = 10 + 0 - 10 = 0 = 10 + 0 − 10 = 0 Hasil Singkat 4x4 ¶ (Setelah dihitung semua bagian)
det ( M 11 ) = 0 \det(M_{11}) = 0 det ( M 11 ) = 0 Langkah 4: Hitung Kofaktor ¶ C 11 = ( + 1 ) × 0 = 0 C_{11} = (+1) \times 0 = 0 C 11 = ( + 1 ) × 0 = 0 Langkah 5: Lanjutkan ke Elemen Lain ¶ Dengan cara yang sama:
Hasil disingkat
Hasil Determinan ¶ Setelah semua dihitung:
det ( A ) = 4 \det(A) = 4 det ( A ) = 4 Nilai tidak nol, berarti matriks memiliki invers
Langkah 6: Matriks Kofaktor ¶ Hasil perhitungan kofaktor (diringkas):
Cof ( A ) = [ 0 2 − 2 1 1 − 1 3 0 − 2 1 2 − 1 2 0 − 1 1 0 − 1 2 − 2 − 2 1 1 − 1 2 ] \text{Cof}(A) =
\begin{bmatrix}
0 & 2 & -2 & 1 & 1 \\
-1 & 3 & 0 & -2 & 1 \\
2 & -1 & 2 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -1 & 2 & -2 \\
-2 & 1 & 1 & -1 & 2
\end{bmatrix} Cof ( A ) = ⎣ ⎡ 0 − 1 2 1 − 2 2 3 − 1 0 1 − 2 0 2 − 1 1 1 − 2 0 2 − 1 1 1 − 1 − 2 2 ⎦ ⎤ Langkah 7: Adjoin (Transpose) ¶ Tukar baris menjadi kolom:
Adj ( A ) = [ 0 − 1 2 1 − 2 2 3 − 1 0 1 − 2 0 2 − 1 1 1 − 2 0 2 − 1 1 1 − 1 − 2 2 ] \text{Adj}(A) =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 2 & 1 & -2 \\
2 & 3 & -1 & 0 & 1 \\
-2 & 0 & 2 & -1 & 1 \\
1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -2 & 2
\end{bmatrix} Adj ( A ) = ⎣ ⎡ 0 2 − 2 1 1 − 1 3 0 − 2 1 2 − 1 2 0 − 1 1 0 − 1 2 − 2 − 2 1 1 − 1 2 ⎦ ⎤ Langkah 8: Hitung Invers ¶ A − 1 = 1 4 × Adj ( A ) A^{-1} = \frac{1}{4} \times \text{Adj}(A) A − 1 = 4 1 × Adj ( A ) Hasil Akhir Invers ¶ A − 1 = [ 0 − 1 4 1 2 1 4 − 1 2 1 2 3 4 − 1 4 0 1 4 − 1 2 0 1 2 − 1 4 1 4 1 4 − 1 2 0 1 2 − 1 4 1 4 1 4 − 1 4 − 1 2 1 2 ] A^{-1} =
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\
\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ 0 2 1 − 2 1 4 1 4 1 − 4 1 4 3 0 − 2 1 4 1 2 1 − 4 1 2 1 0 − 4 1 4 1 0 − 4 1 2 1 − 2 1 − 2 1 4 1 4 1 − 4 1 2 1 ⎦ ⎤